Tofauti za - ni kitu gani? Jinsi ya kupata tofauti ya kazi?

Pamoja na derivat kazi zao tofauti za - ni baadhi ya dhana ya msingi ya tofauti calculus, sehemu kuu ya uchambuzi hisabati. Kama inextricably wanaohusishwa, zote mbili karne kadhaa kutumika sana katika kutatua karibu matatizo yote yaliyotokea katika kipindi cha shughuli za kisayansi na kiufundi.

kuibuka kwa dhana ya tofauti

Kwa mara ya kwanza wazi kuwa tofauti hizo, mmoja wa waanzilishi (pamoja na Isaakom Nyutonom) tofauti calculus maarufu Ujerumani hisabati Gotfrid Vilgelm Leybnits. Kabla ya hapo wanahisabati karne ya 17. kutumika haijulikani sana na hazieleweki wazo la baadhi infinitesimal "usiogawanyika" ya kazi yoyote inayojulikana, kuwakilisha ndogo sana thamani ya mara kwa mara lakini si sawa na sifuri, chini ambayo inathamini kazi hawezi kuwa tu. Hivyo ilikuwa ni hatua moja tu ya kuanzishwa kwa dhana ya nyongeza infinitesimal ya hoja kazi na nyongeza zao wa kazi ambayo inaweza kuwa walionyesha katika suala la derivat ya mwisho. Na hatua hii ilichukuliwa karibu wakati huo huo juu ya wanasayansi wawili kubwa.

Kulingana na haja ya kushughulikia dharura vitendo mechanics matatizo yanayolikabili sayansi yanayoendelea viwanda na teknolojia, Newton na Leibniz iliyoundwa njia ya kawaida ya kupata kazi za kiwango cha mabadiliko (hasa kuhusiana na kasi mitambo ya mwili wa trajectory inayojulikana), ambao ulisababisha kuanzishwa kwa dhana hiyo, kama kazi derivative na tofauti, na pia hupatikana algorithm kinyume ufumbuzi tatizo kama inayojulikana kwa se (variable) kasi traversed kupata njia hiyo imesababisha dhana ya muhimu Ala.

Katika kazi ya wazo Leibniz na Newton ya kwanza ya inaonekana kuwa tofauti za - ni sawia na nyongeza ya hoja za msingi Δh nyongeza Δu kazi ambayo inaweza kuwa mafanikio kutumika kwa mahesabu ya thamani ya mwisho. Kwa maneno mengine, wao wamegundua kwamba nyongeza kazi wanaweza kuwa katika hatua yoyote (ndani uwanja wake wa kawaida) kwa ni walionyesha kupitia yake derivative wote Δu = y '(x) Δh + αΔh ambapo α Δh - salio, kuchunga sifuri kama Δh → 0, kasi zaidi kuliko halisi Δh.

Kwa mujibu wa waanzilishi wa uchambuzi hisabati, tofauti za - hii ni hasa mrefu kwanza katika nyongeza ya kazi yoyote. Hata bila ya kuwa wazi Utaratibu kikomo dhana kufahamika shirikishi kwamba tofauti thamani ya derivative huelekea kufanya kazi wakati Δh → 0 - Δu / Δh → y '(x).

Tofauti na Newton, ambaye alikuwa kimsingi mwanafizikia na vifaa hisabati kuchukuliwa kama chombo msaidizi kwa ajili ya utafiti wa matatizo ya kimwili, Leibniz alivutiwa zaidi na vifaa ambazo huu, pamoja na mfumo wa ishara ya Visual na kueleweka maadili hisabati. Yeye ndiye Kiwango kinachopendekezwa nukuu ya tofauti za kazi dy = y '(x) DX, DX, na derivative ya hoja kazi kama uhusiano wao y' (x) = dy / DX.

ufafanuzi wa kisasa

ni tofauti katika suala la hisabati kisasa ni nini? Ni karibu kuhusiana na dhana ya nyongeza kutofautiana. Kama variable y inachukua thamani ya kwanza ya y y = _1, kisha y = y _2, tofauti y ₂ ─ y ₁ inaitwa nyongeza thamani y. nyongeza inaweza kuwa chanya. hasi na sifuri. Neno "nyongeza" ni mteule Δ, Δu kurekodi (kusoma 'delta y') inaashiria umuhimu wa nyongeza y. hivyo Δu = y ₂ ─ y _1.

Kama thamani Δu kazi kiholela y = f (x) inaweza kuwakilishwa kama Δu = A Δh + α, ambapo A hakuna utegemezi Δh, t. E. A = const kwa x fulani, na mrefu α wakati Δh → 0 huelekea ni hata kwa kasi zaidi kuliko halisi Δh, basi kwanza ( "bwana") mrefu sawia Δh, na ni kwa ajili ya y = f (x) tofauti, ulionyehsa dy au df (x) (kusoma "y de", "de EFF kutoka X"). Kwa hiyo tofauti za - "kuu" linear kuhusiana na sehemu ya nyongeza kazi Δh.

maelezo ya mitambo

Hebu s = f (t) - umbali katika mstari sawa kusonga hatua nyenzo kutoka nafasi awali (t - kusafiri wakati). Nyongeza Δs - ni njia uhakika wakati wa kipindi cha muda Δt, na tofauti ds = f '(t) Δt - njia hii, ambayo uhakika ungefanyika kwa wakati mmoja Δt, ikiwa ni kubakia kasi f' (t), kufikiwa kwa wakati t . Wakati infinitesimal Δt ds imaginary njia tofauti na Δs halisi infinitesimally kuwa juu ili kuhusiana na Δt. Kama kasi wakati t si sawa na sifuri, takriban thamani ds anatoa ndogo upendeleo uhakika.

geometric tafsiri

Hebu line L ni graph ya y = f (x). Kisha Δ x = MQ, Δu = QM '(kuona. Kielelezo chini). Tangent MN mapumziko Δu kata katika sehemu mbili, QN na NM '. Kwanza na Δh ni sawia QN = MQ ∙ tg (pembe QMN) = Δh f '(x), t. E QN ni dy tofauti.

Sehemu ya pili ya tofauti Δu NM'daet ─ dy, wakati Δh → 0 NM urefu 'itapungua hata kasi ya nyongeza ya hoja, yaani ina utaratibu wa udogo juu kuliko Δh. Katika hali hii, kama f '(x) ≠ 0 (zisizo sambamba tangent OX) makundi QM'i QN sawa; kwa maneno mengine NM 'itapungua kwa kasi (utaratibu wa udogo wa juu yake) ya jumla ya nyongeza Δu = QM'. Hii ni dhahiri katika Kielelezo (inakaribia sehemu M'k M NM'sostavlyaet kila ndogo asilimia QM 'sehemu).

Hivyo, graphically la kutofautisha kazi kiholela ni sawa na nyongeza ya kuratibu ya tangent.

Miliki na tofauti

sababu katika muda kwanza wa kujieleza nyongeza kazi ni sawa na thamani ya f yake derivative '(x). Hivyo, baada ya uhusiano - dy = f '(x) Δh au df (x) = f' (x) Δh.

Inajulikana kuwa nyongeza ya hoja kujitegemea ni sawa na tofauti yake Δh = DX. Kwa hiyo, tunaweza kuandika: f '(x) DX = dy.

Kupata (wakati mwingine alisema kuwa "uamuzi") tofauti za ni kazi kwa sheria sawa kwa derivatives. orodha yao ni aliyopewa chini.

Zaidi ya watu wote: nyongeza ya hoja au tofauti yake

Hapa ni muhimu kufanya baadhi ya ufafanuzi. Uwakilishi thamani f '(x) tofauti Δh iwezekanavyo wakati wa kuzingatia x kama hoja. Lakini kazi inaweza kuwa ngumu, ambapo x inaweza kuwa kazi ya hoja t. Kisha uwakilishi wa tofauti usemi wa f '(x) Δh, kama sheria, haiwezekani, isipokuwa katika kesi ya linear utegemezi x = saa + b.

Kama kwenye fomula f '(x) DX = dy, basi katika kesi ya kujitegemea hoja x (wakati huo DX = Δh) kama ni utegemezi parametric ya x t, ni tofauti.

Kwa mfano, usemi 2 x Δh ni kwa ajili y = x ² tofauti yake wakati x ni hoja. Sasa x = t ² na kudhani hoja t. Kisha y = x ² = t ^4.

Hii ni kufuatiwa na (t + Δt) ² = t ² + 2tΔt + Δt ^2. Hivyo Δh = 2tΔt + Δt ^2. Hivyo: 2xΔh = 2t ² (2tΔt + Δt ^2).

kujieleza hii sawia na Δt, na kwa hiyo ni sasa 2xΔh si tofauti. Inaweza kupatikana kutoka equation y = x ² = t ^4. Ni sawa dy = 4t ³ Δt.

Kama sisi kuchukua 2xdx kujieleza, ni tofauti y = x ² kwa hoja t yoyote. Hakika, wakati x = t ² kupata DX = 2tΔt.

Hivyo 2xdx = 2t ² 2tΔt = 4t ³ .DELTA.t, t. E. tofauti za kujieleza iliyorekodiwa na vigezo mbili tofauti sanjari.

Kuchukua nafasi ya nyongeza tofauti za

Kama f '(x) ≠ 0, kisha Δu na dy sawa (wakati Δh → 0); kama f '(x) = 0 (maana na dy = 0), si sawa.

Kwa mfano, kama y = x ^2, basi Δu = (x + Δh) ² ─ x ² = 2xΔh + Δh ² na dy = 2xΔh. Kama x = 3, basi tuna Δu = 6Δh + Δh ² na dy = 6Δh walio sawa kutokana Δh ² → 0, wakati x = 0 thamani Δu = Δh ² na dy = 0 si sawa.

Jambo hili, pamoja na muundo rahisi ya tofauti (m. E. linearity kuhusiana na Δh), ni mara nyingi hutumika katika hesabu ulipo, katika dhana kwamba Δu ≈ dy kwa Δh ndogo. Kupata tofauti kazi ni kawaida rahisi zaidi kwa mahesabu ya thamani halisi ya nyongeza.

Kwa mfano, tuna chuma mchemraba kwa makali x = 10.00 cm. On joto makali kurefushwa kwa Δh = 0.001 cm. Jinsi ongezeko la kiasi cha mchemraba V? Tuna V = x ^2, ili DV = 3x ² = Δh 3 ∙ ∙ Februari ¹⁰ 0/01 = 3 (cm ^3). Kuongezeka ΔV sawa tofauti DV, ili ΔV = 3 cm ^3. Full hesabu bila kutoa ³ ΔV = 10,01 ─ March ¹⁰ = 3.003001. Lakini kutokana na tarakimu zote ila uhakika ya kwanza; kwa hiyo, bado ni muhimu kwa pande zote juu ya 3 cm ^3.

Ni wazi, njia hii ni muhimu tu kama inawezekana kukadiria thamani kuwashirikisha na hitilafu.

Tofauti kazi: mifano

Hebu kujaribu kupata tofauti ya kazi y = x ^3, kutafuta derivative. Hebu kutoa hoja ya nyongeza Δu na kufafanua.

Δu = (Δh + x) ³ ─ x ³ = 3x ² + Δh (Δh 3xΔh ² + ^3).

Hapa, mgawo A = 3x ² halitegemei Δh, ili mfupi kwanza ni sawia Δh, nyingine mwanachama 3xΔh Δh ^{2 +3} wakati Δh → 0 itapungua kwa kasi zaidi kuliko nyongeza ya hoja. Kutokana na hiyo, 3x ² Δh ni tofauti ya y = x ^3:

dy = 3x ² Δh = 3x ² DX au d (x ³⁾ = 3x ² DX.

Ambayo d (x ³⁾ / DX = 3x ^2.

Dy Sasa kupata kazi y = 1 / x na derivative. Kisha d (1 / x) / DX = ─1 / x ^2. Kwa hiyo dy = ─ Δh / x ^2.

Tofauti za msingi kazi algebraic ni aliyopewa chini.

hesabu Takriban kutumia tofauti

Kutathmini kazi f (x), na derivative yake f '(x) katika x = a mara kwa mara ni vigumu, lakini kwa kufanya hivyo karibu na x = a si rahisi. Kisha kuja na misaada ya kujieleza takriban

f (+ Δh) ≈ f '(a) Δh + f (a).

Hii inakupa takriban thamani ya kazi katika nyongeza ndogo kwa njia ya tofauti yake Δh f '(a) Δh.

Kwa hiyo, utaratibu huu inatoa takriban kujieleza kwa kazi katika hatua ya mwisho ya sehemu ya urefu Δh kama jumla ya thamani yake wakati wa kuanza kwa sehemu (x = a) na tofauti katika hatua ya kuanza moja. Usahihi wa mbinu kwa ajili ya kuamua thamani ya kazi chini unaeleza kuchora.

Hata hivyo haijulikani na halisi kujieleza kwa thamani ya kazi x = a + Δh uliotolewa na formula nyongeza finite (au, kwa matumizi mengine, formula Lagrange ya)

f (+ Δh) ≈ f '(ξ) Δh + f (a),

ambapo hatua x = a + ξ ni katika muda kutoka x = a kwa x = a + Δh, ingawa nafasi yake halisi ni haijulikani. formula halisi inaruhusu kutathmini makosa ya formula kukadiria. Kama sisi kuweka katika Lagrange formula ξ = Δh / 2, ingawa haachi kuwa sahihi, lakini anatoa, kama sheria, mbinu bora zaidi kuliko usemi wa awali katika suala la tofauti.

Tathmini formula kosa kwa kutumia tofauti

Kupima vyombo , katika kanuni, sahihi, na kuleta kwa data kipimo sambamba na hitilafu. Wao ni sifa kwa kupunguza makosa kabisa, au, katika muda mfupi, kikomo makosa - chanya, ni wazi mno kosa katika thamani kamili (au sana sana sawa nayo). Uzuiaji na makosa jamaa anaitwa quotient kupatikana kwa kugawa hivyo kwa thamani kamili ya thamani kipimo.

Hebu halisi formula y = f (x) kazi kutumika vychislyaeniya y, lakini thamani ya x ni matokeo ya kipimo, na kwa hiyo huleta y kosa. Kisha, kupata kikwazo na makosa kabisa │Δu│funktsii y, kwa kutumia formula

│Δu│≈│dy│ = │ f '(x) ││Δh│,

ambapo │Δh│yavlyaetsya pembezoni makosa hoja. │Δu│ wingi lazima mviringo kwenda juu, kama sahihi hesabu yenyewe ni badala ya nyongeza juu ya tofauti hesabu.