Tofauti calculus ya kazi ya mmoja na vigezo kadhaa

Tofauti calculus ni tawi la hisabati uchambuzi, ambayo inachunguza derivative, tofauti za na matumizi yao katika utafiti wa kazi.

hadithi ya

Tofauti calculus ilijitokeza kama nidhamu huru katika nusu ya pili ya karne ya 17, kutokana na kazi ya Newton na Leibniz, ambao yaliyoandaliwa masharti ya msingi katika hesabu ya tofauti za na kugundua uhusiano kati ya ushirikiano na upambanuzi. Kwa kuwa nidhamu yeye maendeleo pamoja na hesabu ya integrals, na hivyo ikiwa ni msingi wa uchambuzi hisabati. muonekano wa kalkuli hizi kufunguliwa mpya ya kisasa kipindi duniani hisabati na kusababisha kuibuka kwa taaluma mpya katika sayansi. Pia kupanuliwa uwezekano wa kutumia hisabati katika sayansi ya asili na uhandisi.

dhana ya msingi

Tofauti calculus ni msingi dhana ya msingi ya hisabati. Nazo ni: halisi idadi, mwendelezo na kikomo cha kazi. Baada ya muda, wao wamechukua kuangalia kisasa, kutokana na muhimu na tofauti calculus.

mchakato wa kuunda

Malezi ya tofauti calculus katika mfumo wa maombi, na kisha njia ya kisayansi ilitokea kabla ya kuibuka kwa nadharia ya kifalsafa, ambayo iliundwa na Nikolay Kuzansky. Kazi yake ni inachukuliwa kuwa maendeleo ya mabadiliko kutoka sayansi ya kale ya hukumu. Licha ya ukweli kwamba mwanafalsafa mwenyewe alikuwa si mtaalamu wa hisabati, mchango wake kwa maendeleo ya sayansi hisabati ni undeniable. Cusa, moja ya nje ya kwanza ya kuzingatia hesabu kama sayansi sahihi zaidi, hesabu kuweka wakati shaka.

Katika wanahisabati kale zima kigezo alikuwa kitengo, wakati Mwanafalsafa mapendekezo kama mpya hatua infinity kurudi idadi halisi. Kuhusiana na uwakilishi huu inverted ya usahihi katika sayansi hisabati. habari ya kisayansi, kwa maoni yake, imegawanywa katika mantiki na akili. pili ni sahihi zaidi, kwa mujibu wa mwanasayansi, kwa kuwa zamani anatoa tu matokeo kukadiria.

wazo

Wazo msingi na dhana ya tofauti calculus kuhusishwa na kazi katika eneo dogo la pointi fulani. Kwa hiyo ni muhimu ili kujenga vifaa hisabati kufanya kazi na masomo ambao tabia katika kitongoji kidogo cha pointi imewekwa karibu na tabia ya kazi linear au polynomial. Kulingana na ufafanuzi huu wa derivative na tofauti.

kuibuka kwa dhana ya derivative ilisababishwa na idadi kubwa ya matatizo ya sayansi ya asili na hisabati, ambayo imesababisha uamuzi wa kikomo maadili ya aina moja.

Moja ya kazi kuu ambayo wanapewa kama mfano, kuanzia na madarasa ya zamani shule, ni kuamua kasi ya mwendo wa hatua katika mstari moja kwa moja na ujenzi wa tangent mstari Curve hii. tofauti wanaohusishwa na hii, tangu kuna uwezekano wa kukadiria kazi katika kitongoji kidogo cha uhakika wa kazi mstari.

Ikilinganishwa na dhana ya derivative wa kazi ya kutofautiana halisi, ufafanuzi wa tofauti za tu anapitisha kazi ya hali jumla, hasa mfano wa nafasi Euclidean hadi nyingine.

derivative

Hebu hatua hatua katika mwelekeo wa mhimili y, kwa mara ya sisi kuchukua x, ambayo ni kipimo mwanzo wa wakati. Elezea harakati vile ni iwezekanavyo kwa kazi y = f (x), ambayo ni kuhusishwa na kila hatua wakati x kuratibu displaceable uhakika. Hii wito kazi katika mechanics kuchukua sheria ya mwendo. tabia kuu ya mwendo, hasa kutofautiana, ni kasi instantaneous. Wakati hatua ni wakiongozwa pamoja mhimili y kulingana na sheria ya mechanics, random wakati hatua hiyo hupata kuratibu x f (x). Baada ya muda uhakika x + Δh, ambapo Δh inawakilisha nyongeza ya muda, itakuwa kordinaty f (x + Δh). Hivyo sumu formula Δy = f (x + Δh) - f (x), iitwayo nyongeza kazi. Ni hatua ya njia traversed wakati kutoka x kwa x + Δh.

Kuhusiana na tukio la kasi kwa wakati derivative unasimamiwa. derivative ya kazi yoyote wakati fasta kuitwa kikomo (kuchukua ipo). Inaweza inajulikana baadhi ya wahusika:

f '(x), y', ý, df / DX, dy / DX, Df (x).

mchakato wa kuhesabu derivative ya simu upambanuzi.

Tofauti calculus ya kazi ya vigezo kadhaa

Njia hii inatumika wakati wa kuhesabu kazi ya utafiti, vigezo kadhaa. Wakati kuna vigezo mbili x na y, sehemu derivative kuhusiana na x katika hatua A inaitwa derivative ya kazi hii katika x na y kudumu.

Huweza kuonekana kutokana na alama zifuatazo:

f '(x) (x, y), u' (x), ∂u / ∂x na ∂f (x, y) '/ ∂x.

ujuzi unaotakiwa

Ili mafanikio kujifunza na kuwa na uwezo wa kutatua diffury required ujuzi katika ushirikiano na upambanuzi. Ili iwe rahisi kuelewa tofauti equations, lazima kuelewa mada derivative na usio na kipimo muhimu. Pia haina madhara ya kujifunza kwa kuangalia derivative ya kazi thabiti. Hii ni kutokana na ukweli kwamba katika mchakato wa kujifunza mara nyingi kutumia integrals na upambanuzi.

Aina ya equations tofauti

Karibu wote kudhibiti kazi zinazohusiana na kwanza ili equations tofauti, kuna aina 3 ya equations: jinsi moja, pamoja na vigezo ungulika, linear inhomogeneous.

Pia kuna aina nadra zaidi milinganyo kwa tofauti za jumla, equation Bernoulli, na wengine.

Misingi ufumbuzi

Kuanza, tunapaswa kukumbuka ni algebraic equation bila shaka shule. Wao vyenye vigezo na namba. Ili kutatua equation ya kawaida lazima kupata mengi ya idadi ya kwamba kukidhi masharti maalum. Kwa kawaida, milinganyo hizi mzizi mmoja, na kwa uthibitisho lazima tu badala ya thamani hii katika nafasi haijulikani.

tofauti equation ni sawa na hii. Kwa ujumla, equation ya amri ya kwanza inajumuisha:

• Independent kutofautiana.
• derivative ya kazi ya kwanza.
• Kazi au tegemezi kutofautiana.

Wakati mwingine, huenda kukawa na mtu asiyejulikana, x au y, lakini si muhimu kama ni muhimu na derivative ya kwanza, na hakuna derivat juu ili ufumbuzi na tofauti calculus ni kweli kabisa.

Kutatua tofauti equation - ina maana ya kupata seti ya kazi yote ni mzuri kutokana na kujieleza. seti hizo ya kazi mara nyingi huitwa kwa ujumla kudhibiti ufumbuzi.

muhimu calculus

Integral calculus ni moja ya sehemu ya uchambuzi wa hisabati, ambayo inachunguza dhana ya muhimu, mali na mbinu za hesabu zake.

Mara nyingi hesabu ya muhimu hutokea wakati kuhesabu eneo la sura curvilinear. By hii ina maana eneo kikomo, kuelekea ambayo predetermined eneo la andikwa poligoni sura na kuongezeka polepole katika mkono wake, na upande wa data unaweza kufanywa chini ya yoyote ya awali na thamani maalum holela ndogo.

Wazo kuu katika hesabu ya eneo la sura yoyote kijiometri ni kuhesabu eneo la mstatili, basi kuna ushahidi kwamba eneo lake ni sawa na bidhaa ya urefu na upana. Linapokuja suala la jiometri, basi ujenzi wote ni kufanywa kwa kutumia mtawala na dira, na kisha uwiano wa urefu na upana ni thamani wiano. Wakati wa kuhesabu eneo la pembe tatu kulia inaweza kuamua kwamba kama kuweka pembetatu ya, mstatili inaundwa. Katika eneo la msambamba ni mahesabu katika njia sawa lakini kidogo ngumu zaidi, ndani ya mstatili na pembetatu. Katika eneo la poligoni inachukuliwa na pembetatu pamoja ndani yake.

Katika kuamua huruma ya kiholela, njia hii haina fit Curve. Kama sisi kuvunja ndani mraba mtu binafsi, itakuwa kubaki maeneo unfilled. Katika hali hii, kujaribu kutumia koti la ziada, na mistatili juu na chini, kutokana na wale ni pamoja na graph ya kazi na haina ni pamoja. Muhimu hapa ni njia ya kuvunja mistatili haya. Pia, kama sisi kuchukua mapumziko zaidi na zaidi kupunguzwa, eneo la juu na chini zinapaswa kuungana thamani fulani.

Ni lazima kurudi mbinu kwa ajili ya kutenganisha katika mistatili. Kuna njia mbili za maarufu.

Riemann ilikuwa rasmi ufafanuzi wa muhimu, iliyoundwa na Leibniz na Newton, kama eneo la subgraph. Katika hali hii, sisi kuchukuliwa takwimu yenye idadi fulani ya mistatili wima kupatikana kwa kugawa muda. Wakati kuvunja kupungua kuna kikomo kwa kupunguza eneo la takwimu hizo, kikomo hii inaitwa Riemann muhimu ya kazi katika muda maalum.

Njia ya pili ni kujenga Lebesgue muhimu, likiwa katika ukweli kwamba badala ya kujitenga mteule eneo la upande wa integrand na kukusanya basi kiasi muhimu ya maadili kupatikana katika maeneo hayo, baada ya muda kugawanywa aina yake ya maadili, na kisha inaongozwa na hatua sambamba images kinyume ya integrals haya.

misaada ya kisasa

Moja ya faida kuu ya utafiti wa tofauti na muhimu calculus Fikhtengol'ts aliandika - "ya tofauti na muhimu calculus." kiada yake ni chombo muhimu kwa ajili ya utafiti wa uchambuzi wa hisabati, ambayo withstood matoleo mengi na tafsiri kwa lugha nyingine. Iliyoundwa kwa ajili ya wanafunzi na kwa muda mrefu kutumika katika aina mbalimbali za taasisi za elimu kama moja ya faida kuu ya utafiti. Inakupa habari nadharia na ujuzi wa vitendo. Kwanza kuchapishwa katika 1948.

Algorithm kazi ya utafiti

Kuchunguza mbinu za tofauti calculus kazi, unahitaji kufuata tayari kupewa algorithm:

1. Kupata kikoa cha kazi.
2. Kupata mizizi ya equation aliyopewa.
3. Piga hesabu extremes. Kwa kufanya hivyo, sisi mahesabu derivative na mahali ambapo ni sawa na sifuri.
4. Sisi badala thamani zilizopatikana katika Eq.

Aina wa equations tofauti

Udhibiti wa utaratibu kwanza (vinginevyo, tofauti calculus kigeu moja) na aina yao:

• Kwa ungulika vigezo equation: f (y) dy = g (x) DX.
• rahisi equation au tofauti calculus kazi ya variable moja, baada ya formula: y '= f (x).
• linear kwanza ili nonuniform udhibiti: y '+ P (x) y = Q (x).
• Bernoulli tofauti equation: y '+ P (x) y = Q (x) y.
• Equation jumla tofauti za with: P (x, y) DX + Q (x, y) dy = 0.

tofauti equations wa daraja ya pili na aina yao:

• Jinsi moja linear pili ili tofauti equation na ^coefficients ya mara kwa ^{mara: y n + py '+ Qy} = 0 p, q ni R.
• Inhomogeneous linear daraja ya pili tofauti equation na coefficients ya mara kwa mara ^{thamani: y n + py '+ Qy} = f (x).
• Jinsi moja linear tofauti ^{equation: y n + p (x)} y '+ q (x) y = 0, na inhomogeneous pili ili ^{equation: y n + p (x)} y' + q (x) y = f (x).

equations tofauti maagizo ya juu na aina yao:

• tofauti equation, kuruhusu kupunguza ^{agizo: F (x, y (k} ), y (k + ^{1), .., y (n)} = 0.
• equation linear ya amri cha juu ^{_{ya jinsi moja: y (n) + f (}} n- ₁₎ y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = 0, na ^{_{inhomogeneous: y (n) + f (}} n _-1) y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = f (x).

Hatua za kutatua tatizo na tofauti equation

Kwa msaada wa kudhibiti mbali ni kutatuliwa si tu hisabati au matatizo ya kimwili, lakini pia matatizo mbalimbali ya biolojia, uchumi, elimu ya jamii na wengine. Pamoja na aina mbalimbali ya mada, lazima kufuata moja mantiki mlolongo ajili ya kutatua matatizo haya:

1. Kuandaa kudhibiti. Moja ya hatua ngumu sana, ambayo inahitaji usahihi upeo, kwa sababu makosa yoyote itasababisha matokeo mabaya kabisa. Ni muhimu kuzingatia mambo yote yanayohusu mchakato na kuamua hali ya awali. Ni lazima pia kuzingatia ukweli na hitimisho mantiki.
2. Kwa ajili ya kutatua equations. Utaratibu huu ni rahisi kwa uhakika kwanza, kwa kuwa inahitaji tu kali utekelezaji wa mahesabu ya hisabati.
3. Uchambuzi na tathmini ya matokeo. Inayotokana ufumbuzi lazima tathmini kwa ajili ya ufungaji wa thamani ya vitendo na nadharia ya matokeo.

Mfano wa matumizi ya tofauti equations katika dawa

Kwa kutumia kudhibiti mbali katika uwanja wa dawa hupatikana katika ujenzi wa epidemiological mfano hisabati. Tusisahau kwamba equations haya pia hupatikana katika biolojia na kemia, ambazo ni karibu na dawa, kwa sababu ina jukumu muhimu utafiti wa idadi tofauti ya kibayolojia na michakato ya kemikali katika mwili wa binadamu.

Katika mfano huu, janga kuenea kwa maambukizi inaweza kutibiwa katika jamii pekee. wenyeji ni kugawanywa katika aina tatu:

• Kuambukizwa, idadi ya x (t), ambayo ilihusisha watu binafsi, kuambukiza flygbolag, ambapo kila kitu kuambukiza (incubation kipindi ni kifupi).
• Aina ya pili ni pamoja na wanahusika binafsi y (t), anaweza kuambukizwa kwa kugusa walioambukizwa.
• Aina ya tatu ni pamoja na watu binafsi refractory z (t), ambazo ni kinga au kupotea kutokana na ugonjwa.

Idadi ya watu binafsi mara kwa mara, kuweka kuzaliwa, vifo asili na uhamiaji si kuzingatiwa. Katika msingi itakuwa nadharia mbili.

Asilimia ugonjwa wakati fulani wakati ni sawa na x (t) y (t) (kulingana dhana ya nadharia kwamba idadi ya kesi kwa uwiano wa idadi ya makutano kati ya wagonjwa na wanachama msikivu, ambayo kwa makadirio ya kwanza ni sawia na x (t) y (t)), katika kwa hiyo idadi ya kesi ni kuongeza, na idadi ya kupungua wanahusika kwa kiwango ambayo ni mahesabu kwa formula shoka (t) y (t) (> 0).

Idadi ya wanyama wasio waitikiaji kwamba walikufa au alipewa kinga, kuongezeka kwa kiwango ambayo ni sawia na idadi ya kesi, bx (t) (b> 0).

Matokeo yake, unaweza kuanzisha mfumo wa equations na viashiria vyote vitatu kwa misingi ya hitimisho lake.

MFANO matumizi uchumi

Tofauti calculus ni mara nyingi hutumika katika uchambuzi wa kiuchumi. kazi kuu katika uchambuzi wa kiuchumi ni inachukuliwa kuwa utafiti wa maadili ya uchumi, ambayo ni kumbukumbu katika mfumo wa kazi. Ni kutumika katika kutatua matatizo kama vile mabadiliko katika ongezeko kodi ya mapato mara baada, ada ya kuingia, mabadiliko katika mapato wakati kubadilisha thamani ya bidhaa, katika kile uwiano inaweza kubadilishwa na wafanyakazi wastaafu na vifaa mpya. Ili kutatua matatizo hayo, ni required kujenga kazi ya mawasiliano ya vigezo inayoingia, ambayo, baada ya utafiti na shirika calculus tofauti.

mara kwa mara ni muhimu kwa kupata zaidi utendaji bora katika nyanja za kiuchumi: uzalishaji wa kiwango cha, kipato cha juu, gharama angalau na kadhalika. Kila sehemu kama ni kazi ya hoja moja au zaidi. Kwa mfano, uzalishaji inaweza kuchukuliwa kama kazi ya kazi na mtaji. Kwa maana hii, kutafuta thamani mzuri, yanapatikana kwa kutafuta juu ama chini ya kazi ya vigezo moja au zaidi.

matatizo kama kujenga darasa la matatizo extremal katika uwanja wa uchumi, ambayo unahitaji tofauti calculus. Wakati kiashiria kiuchumi inahitajika kupunguza au kuongeza kama kazi ya vigezo vingine, nyongeza uwiano upeo uhakika kazi ili hoja huwa na zero kama nyongeza ya hoja huelekea sifuri. Vinginevyo, wakati mtizamo huo huelekea fulani thamani chanya au hasi, maalum hatua si mzuri, kwa sababu kwa kuongeza au kupunguza hoja inaweza kubadilishwa thamani tegemezi katika mwelekeo wa taka. Katika tofauti calculus istilahi, hii itamaanisha kwamba hali inahitajika kwa ajili ya kazi ya kiwango cha juu ni thamani sifuri ya derivative yake.

uchumi ni kawaida tatizo la kutafuta extremum ya kazi ya vigezo kadhaa, kwa sababu vigezo vya kiuchumi umeundwa kwa sababu mbalimbali. masuala kama hayo vizuri katika nadharia ya kazi ya vigezo kadhaa, njia ya kuhesabu tofauti. matatizo kama ni pamoja na si tu imepanuliwa na kupunguzwa kazi, lakini pia mapungufu. Maswali haya yanahusiana na programu hisabati, na wao kutatuliwa kwa msaada wa mbinu maalum ya maendeleo pia kulingana na tawi hili la sayansi.

Miongoni mwa njia za tofauti calculus kutumika katika uchumi, sehemu muhimu ni mtihani wa mwisho. Katika nyanja za kiuchumi, mrefu unarejelea jumla ya njia za utafiti wa utendaji kutofautiana na matokeo ya wakati mabadiliko kiasi ya viumbe, matumizi, kwa kuzingatia uchambuzi wa viwango vyake kikomo. Uzuiaji dalili kuchukuliwa derivative au derivat sehemu na vigezo kadhaa.

Tofauti calculus ya vigezo kadhaa - mada muhimu ya uchambuzi hisabati. Kwa ajili ya utafiti wa kina, unaweza kutumia aina mbalimbali za zana za kufundishia kwa taasisi za elimu ya juu. Moja ya Fikhtengol'ts maarufu kuundwa - "ya tofauti na muhimu calculus." Ni kiasi gani cha jina la ufumbuzi wa equations tofauti ya umuhimu mkubwa wa kuwa na ujuzi wa kufanya kazi na integrals. Wakati kuna tofauti calculus ya kazi ya variable moja, uamuzi inakuwa rahisi zaidi. Ingawa, ni lazima ieleweke, inafuata sheria hiyo ya msingi. Katika mazoezi, kuchunguza kazi ya tofauti calculus, fuata algorithm tayari iliyopo, ambayo imetolewa katika shule ya sekondari, na tu kidogo ngumu kwa kuanzishwa kwa vigezo mpya.