Mfumo wa equations linear algebraic. Jinsi moja mfumo wa equations linear algebraic

Shuleni, kila mmoja wetu alisoma equation na, kwa hakika, mfumo wa equations. Lakini si watu wengi kujua kuwa kuna njia nyingi za kutatua yao. Leo tutaona hasa kila mbinu kwa ajili ya kutatua mfumo wa equations linear algebraic, ambayo ni linajumuisha ya milinganyo zaidi ya mbili.

hadithi

Leo tunajua kwamba sanaa ya kutatua equations na mifumo yao ya asili katika Babeli ya kale na Misri. Hata hivyo, usawa katika hali yake familiar alionekana kwetu baada ya tukio la ishara sawa "=", ambayo kuletwa mwaka 1556 na rekodi English mtaalamu wa hisabati. Kwa njia, ishara hili kuchaguliwa kwa sababu: maana mbili sambamba makundi sawa. Hakika, mfano bora wa usawa haitokani up.

mwanzilishi wa lettering kisasa na ishara ya kiasi haijulikani, Kifaransa hisabati Fransua Viet. Hata hivyo, wajibu wake ni tofauti kuanzia leo. Kwa mfano, mraba wa idadi isiyojulikana yeye aliyeteuliwa na barua Q (lat "quadratus".), Na mchemraba - (. Lat "CUBUS") barua C. alama hizi sasa wanaonekana wasiwasi, lakini ni njia wengi Intuitive kuandika mfumo wa equations linear algebraic.

Hata hivyo, hasara katika njia uliopo ya suluhisho ni kwamba wanahisabati na kuchukuliwa tu mizizi chanya. Labda hii ni kutokana na ukweli kwamba maadili hasi hawana programu yoyote vitendo. njia moja au nyingine, lakini kwanza kuchukuliwa mizizi hasi alianza baada hisabati Italia Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano na Raphael Bombelli katika karne ya 16. Mwonekano wa kisasa, njia kuu ya kutatua equations quadratic (kupitia discriminant) ilianzishwa tu katika karne ya 17 kwa njia ya matendo ya Descartes na Newton.

Katikati ya karne ya 18 Uswisi hisabati Gabriel Cramer kupatikana njia mpya ya kufanya ufumbuzi wa mifumo ya milinganyo linear rahisi. Njia hii baadaye jina lake, na hadi leo sisi matumizi yake. Lakini katika njia ya majadiliano Kramer ya muda kidogo, lakini kwa sasa sisi kujadili milinganyo mstari na ufumbuzi tofauti na mfumo.

milinganyo mstari

Linear equations - equation rahisi kwa kutofautiana (s). Wao ni wa algebraic. milinganyo mstari imeandikwa katika mfumo wa jumla kama ifuatavyo: ₁ * x ₁ + _{2 *} x ₂ + ... na _n * x _n = b. Kuwasilisha fomu hii tutahitaji katika maandalizi ya mifumo na matrices juu.

mfumo wa equations linear algebraic

ufafanuzi wa neno hili ni: seti ya milinganyo na unknowns kawaida na ufumbuzi wa jumla. Kwa kawaida, katika shule zote kutatuliwa mfumo kwa milinganyo mbili au hata tatu. Lakini kuna mifumo na vipengele nne au zaidi. Hebu tuone kwanza jinsi ya kuandika yao chini ili baadaye ilikuwa rahisi kutatua. Kwanza, mfumo wa equations linear algebraic kuangalia bora zaidi kama vigezo vyote imeandikwa kama x na index sambamba: 1,2,3 na kadhalika. Pili, ni lazima kusababisha milinganyo wote aina ya kisheria: ₁ * x ₁ + _{2 *} x ₂ + ... na _n * x _n = b.

Baada ya hatua hizi zote, tunaweza kuanza kukuambia jinsi ya kupata ufumbuzi wa mifumo ya milinganyo mstari. Ni mambo mengi kwa kuwa itakuwa ya manufaa tumbo.

Matrix

Matrix - meza ambayo ina safu na nguzo, na mambo yake ni katika makutano yao. Hii inaweza kuwa ama thamani maalum au kutofautiana. Katika hali nyingi, kwa mteule mambo ambayo hupangwa chini subscripts (kwa mfano, ₁₁ au ₂₃ vizuri). orodha ya kwanza inaonyesha mfululizo idadi, na ya pili - safu wima. matrices juu hapo juu na nyingine yoyote ya kipengele hisabati anaweza kufanya shughuli mbalimbali. Hivyo, unaweza:

1) Ondoa na kuongeza ukubwa sawa ya meza.

2) Kuzidisha Jedwali na idadi yoyote au vector.

3) Transpose: kubadilisha Matrix mistari katika safu wima, na nguzo - katika mstari.

4) Kuzidisha Jedwali, kama idadi ya safu mlalo ni sawa na mmoja wao idadi tofauti ya nguzo.

Kujadili kwa kina yote ya mbinu hizi, kwani ni muhimu kwetu katika siku zijazo. Kutoa na kuongeza ya matriki ni rahisi sana. Tangu sisi kuchukua huo ukubwa Matrix, kila kipengele cha meza moja ni kuhusiana na kila kipengele nyingine. Hivyo sisi kuongeza (Ondoa) wawili wa mambo haya (ni muhimu kwamba walikuwa wamesimama juu ya ardhi hiyo katika matrices yao). Wakati kuongezeka kwa idadi ya Matrix au vector wewe tu kuzidisha kila kipengele cha Matrix na kwamba idadi (au vector). Ondoleo - mchakato kuvutia sana. kuvutia sana wakati mwingine kuona naye katika maisha ya kweli, kwa mfano, wakati kubadilisha mwelekeo wa kibao au simu. ikoni kwenye eneo kazi ni tumbo, na kwa mabadiliko ya msimamo, ni transposed na kuwa pana, lakini itapungua kwa urefu.

Hebu kuchunguza zaidi mchakato kama vile Matrix kuzidisha. Ingawa alituambia, na si muhimu, lakini fahamu bado ni muhimu. Zidisha matriki mbili inaweza kuwa tu chini ya hali kwamba idadi ya nguzo katika meza moja ni sawa na idadi ya safu nyingine. Sasa kuchukua mambo moja Matrix line na mambo mengine ya safu sambamba. Kuzidisha yao kwa kila mmoja na kisha kiasi (yaani, kwa mfano, matokeo ya mambo ₁₁ na ₁₂ na katika ₁₂ b na ₂₂ b itakuwa sawa na: * b _{11 12} + ₁₂ * b na _22). Hivyo, moja ya meza ya bidhaa, na mbinu sawa na ni kujazwa zaidi.

Sasa tunaweza kuanza kufikiria jinsi ya kutatua mifumo ya milinganyo mstari.

Gauss

Mandhari hii ilianza kuchukua nafasi ya shuleni. Tunajua vizuri sana dhana ya "mfumo wa equations mbili linear" na kujua jinsi ya kuyatatua. Lakini nini kama namba ya milinganyo ni zaidi ya wawili? Hii itatusaidia Gauss mbinu.

Bila shaka, njia hii ni rahisi kutumia, kama wewe kufanya tumbo ya mfumo. Lakini huwezi kubadilisha na kuamua yenyewe.

Hivyo, jinsi ya kutatua hayo kwa mfumo wa linear equations Gauss? Kwa njia, hata kama njia hii na jina lake, lakini aligundua katika nyakati za kale. Gauss ina operesheni kufanyika kwa equations, na hatimaye kusababisha ujumla na aina Echelon. Hiyo ni, unahitaji juu-chini (kama usahihi mahali) kutoka ya kwanza kwa equation mwisho waned moja haijulikani. Kwa maneno mengine, tunahitaji kuhakikisha kwamba sisi tumepewa, wanasema, equations tatu: ya kwanza - unknowns tatu, katika pili - mbili katika tatu - moja. Kisha, kutoka equation mwisho, tunapata haijulikani kwanza, badala ya thamani yake katika pili au equation ya kwanza, na zaidi kupata iliyobaki vigezo mbili.

utawala Cramer ya

Kwa maendeleo ya mbinu hii ni muhimu kwa bwana ujuzi wa Aidha, kutoa ya matriki, pamoja na haja ya kuwa na uwezo wa kupata vigezo. Kwa hiyo, kama wewe ni wasiwasi kufanya hivyo wote au hawajui jinsi, ni muhimu kujifunza na kuwa mafunzo.

ni kiini cha njia hii nini, na jinsi ya kufanya hivyo, kupata mfumo wa linear equations Cramer? Ni rahisi sana. Tunahitaji kujenga tumbo ya nambari (karibu kila mara) coefficients ya mfumo wa equations linear algebraic. Ili kufanya hivyo, tu kuchukua idadi ya haijulikani, na sisi kupanga meza ili wao ni kumbukumbu katika mfumo. Kama kabla ya idadi ni ishara "-", basi sisi kuandika mgawo hasi. Hivyo, tulifanya mkusanyiko wa kwanza wa coefficients ya unknowns, si ni pamoja na namba baada ya kujiandikisha sawa (bila shaka, kwamba equation lazima kupunguzwa na aina canonical wakati wa kulia ni idadi tu, na kushoto - unknowns wote kwa coefficients). Basi haja ya kufanya matrices chache - moja kwa kila kutofautiana. Kwa ajili hiyo, kwenye mkusanyiko wa kwanza ni kubadilishwa kwa safu moja namba kila safu na coefficients baada ya ishara sawa. Hivyo sisi kupata matrices chache na kisha kupata vigezo vyao.

Baada ya kupatikana mechi za kufuzu, ni ndogo. Tuna Matrix awali, na kuna matrices kadhaa inayotokana, ambayo yanahusiana na vigezo mbalimbali. Kupata mfumo ufumbuzi, sisi kugawanya determinant ya meza na kusababisha juu ya Kiamuzi msingi ya meza. idadi kusababisha ni thamani ya kutofautiana moja. Vile vile, tunapata unknowns wote.

njia nyingine

Kuna njia kadhaa ili kupata ufumbuzi wa mifumo ya milinganyo mstari. Kwa mfano, kinachojulikana Gauss-Jordan njia, ambayo hutumiwa kwa ajili ya kutafuta ufumbuzi wa mfumo wa equations quadratic, na pia inahusiana na matumizi ya matrices. Pia kuna njia Jacobi kwa ajili ya kutatua mfumo wa equations linear algebraic. Yeye urahisi anpassas kwa kompyuta zote na hutumiwa katika kompyuta.

kesi ngumu

Utata kawaida hutokea kama namba ya milinganyo ni chini ya idadi ya variables. Basi sisi tunaweza kusema kuwa, au mfumo haiendani (yaani, hana mizizi), au idadi ya maamuzi yake huelekea isiyo na kikomo. Tukiwa na kesi ya pili - ni muhimu kuandika ufumbuzi wa jumla wa mfumo wa equations linear. Itakuwa ni pamoja na kutofautiana angalau moja.

hitimisho

Hapa sisi umefika mwisho. Kwa kifupi: tuna kuelewa mfumo wa tumbo, wamejifunza kupata suluhisho jumla wa mfumo wa equations linear. Aidha sisi kuchukuliwa chaguo nyingine. Sisi figured nje ya jinsi ya kutatua mifumo ya milinganyo linear: Gaussian kuondoa na utawala Cramer ya. Kuongelea kesi ngumu na njia nyingine ya kupata ufumbuzi.

Kwa kweli, suala hili ni zaidi ya kina, na kama unataka kuelewa hilo, tunakushauri kusoma zaidi wa fasihi maalumu.