Linear na jinsi moja tofauti equation ya amri ya kwanza. mifano ya ufumbuzi

Nadhani tuanze na historia ya utukufu chombo hisabati kama equations tofauti. Kama tofauti zote na muhimu calculus, milinganyo hawa zuliwa na Newton katika karne ya 17 kwa kuchelewa. Aliamini ni ugunduzi wake muhimu kwamba hata ujumbe encrypted, ambayo leo inaweza kutafsiriwa kama ifuatavyo: ". Sheria zote za asili ilivyoelezwa na equations tofauti" Ni inaweza kuonekana exaggeration, lakini ni kweli. sheria yoyote ya fizikia, kemia, biolojia, inaweza kuelezea kwa milinganyo haya.

mchango mkubwa sana katika maendeleo na kuundwa kwa nadharia ya equations tofauti na hisabati ya Euler na Lagrange. Tayari katika karne ya 18 waligundua na kuendeleza kile sasa kusoma katika kozi mwandamizi wa chuo kikuu.

hatua mpya katika utafiti wa equations tofauti alianza shukrani kwa Anri Puankare. Ameziumba "ubora nadharia ya equations tofauti", ambayo, pamoja na nadharia ya kazi ya vigezo tata umechangia kwa kiasi kikubwa msingi wa topolojia - sayansi wa nafasi na sifa zake.

ni tofauti equations ni nini?

Watu wengi ni hofu ya maneno "tofauti equation". Hata hivyo, katika makala hii sisi yaliyowekwa kwa kina kiini cha chombo hiki muhimu sana hisabati ambayo kwa kweli ni si kama ngumu kama inaonekana kutoka jina. Ili kuanza kwa majadiliano juu ya kwanza ili tofauti equation, lazima kwanza kupata kujua dhana ya msingi kwamba ni asili ya kuhusishwa na ufafanuzi huu. Na tutaweza kuanza na tofauti.

tofauti

Watu wengi kujua muda huu tangu shule ya sekondari. Hata hivyo, bado kukaa juu yake kwa undani. Fikiria graph ya kazi. Tunaweza kuongeza kwa kiasi kwamba yoyote ya sehemu yake inakuwa line moja kwa moja. Kutakuwa na kuchukua pointi mbili ambazo ni kubwa karibu na kila mmoja. tofauti kati ya kuratibu yao (x au y) ni infinitesimal. Na ni wito tofauti na wahusika mteule dy (tofauti ya y) na DX (tofauti ya x). Ni muhimu kuelewa kwamba tofauti si thamani ya mwisho, na hii maana na kazi kuu.

Na sasa lazima uzingatie mambo yafuatayo, ambayo tutahitaji kueleza tofauti equation dhana. Hiyo - derivative.

derivative

Ni lazima sote wamesikia shuleni na wazo hili. Wanasema kuwa derivative - ni kiwango cha ukuaji au upungufu wa kazi. Hata hivyo, ufafanuzi huu inakuwa zaidi utata. Tujaribu kueleza suala derivative ya tofauti za. Hebu kurejea infinitesimal muda kazi na pointi mbili, ambazo ziko katika umbali wa chini kutoka kwa kila mmoja. Lakini hata zaidi ya kazi hii ya umbali ni wakati wa mabadiliko ya baadhi ya thamani. Na kueleza mabadiliko na kuja na derivative ambayo vinginevyo imeandikwa kama uwiano wa tofauti za: f (x) '= df / DX.

Sasa ni muhimu ya kuzingatia mali ya msingi ya derivative. Kuna aina tatu tu:

1. Miliki Jumla au tofauti inaweza kuwakilishwa kama jumla au tofauti ya derivat: (a + b) '=' + b, na (ab) '= a'-b.
2. mali ya pili ni kushikamana na kuzidisha. Miliki ya kazi - ni jumla ya kazi ya kazi moja kwa derivative mwingine: (* b) '=' * b + * b.
3. derivative ya tofauti inaweza kuandikwa kama equation yafuatayo: (a / b) '= (' * ba * b ') / b ^2.

Makala hizi zote kuja Handy kwa ajili ya kutafuta ufumbuzi na tofauti equations ya amri ya kwanza.

Pia, kuna sehemu derivatives. Tuseme tuna kazi ya z, ambayo inategemea vigezo x na y. Mahesabu ya sehemu derivative ya kazi hii, kwa mfano, katika x, tunahitaji kuchukua y variable kwa mara kwa mara na rahisi kutofautisha.

muhimu

dhana nyingine muhimu - muhimu. Kwa kweli ni kinyume cha derivative. Integrals aina kadhaa, lakini ufumbuzi rahisi wa equations tofauti, tunahitaji yasiyo na maana kwa muda usiojulikana integrals.

Hivyo, nini ni muhimu? Tuseme tuna baadhi ya uhusiano f ya x. Tunachukua kutoka humo muhimu na kupata kazi F (x) (ni mara nyingi hujulikana kama mali), ambayo ni derivative ya kazi ya awali. Kwa hiyo F (x) '= f (x). Hii pia ina maana kwamba muhimu ya derivative ni sawa na kazi ya awali.

Katika kutatua equations tofauti ni muhimu sana kuelewa maana na kazi ya muhimu, kwa kuwa mara nyingi sana kuchukua wao kupata ufumbuzi.

mlingano ni tofauti kulingana na asili yao. Katika sehemu ya pili tutaangalia aina ya kwanza milinganyo ili tofauti, na kisha kujifunza jinsi ya kuyatatua.

Madarasa wa equations tofauti

"Diffury" kugawanywa na utaratibu wa derivat kushiriki katika wao. Hivyo kuna kwanza, ya pili, ya tatu au zaidi utaratibu. Wao pia inaweza kugawanywa katika madarasa kadhaa: kawaida na kiasi.

Katika makala hii, sisi kufikiria kawaida tofauti equations ya amri ya kwanza. Mifano na ufumbuzi sisi kujadili katika sehemu zifuatazo. Tunaona tu TAC kwa sababu ni aina ya kawaida ya equations. Kawaida kugawanywa katika aina ya jamii: kwa vigezo ungulika, jinsi moja na tofauti nyingi. Pili kujifunza jinsi tofauti na kila mmoja, na kujifunza jinsi ya kutatua yao.

Aidha, milinganyo haya inaweza kuwa pamoja, ili baada ya kupata mfumo wa equations tofauti ya amri ya kwanza. mifumo hiyo, sisi pia kuangalia na kujifunza jinsi ya kutatua.

Kwa sisi ni kuzingatia tu ili kwanza? Kwa sababu ni muhimu kuanza na rahisi na kuelezea yote yanayohusiana na equations tofauti, katika makala moja haiwezekani.

Equations na vigezo ungulika

Hii labda rahisi kabisa kwanza ili tofauti equations. Hii ni mifano ambayo inaweza kuandikwa kama: y '= f (x) * f (y). Ili kutatua equation hii tunahitaji uwakilishi formula ya derivative kama uwiano wa tofauti za: y '= dy / DX. Kwa ulimi sisi kupata equation: dy / DX = f (x) * f (y). Sasa tunaweza kurejea kwa njia ya kutatua mifano ya kiwango: tofauti vigezo katika sehemu, yaani mbele haraka kila y variable katika sehemu ambapo kuna dy, na pia kufanya kutofautiana x ... Sisi kupata equation ya fomu: dy / f (y) = f (x) DX, ambayo ni mafanikio kwa kuchukua integrals wa sehemu mbili. Usisahau kuhusu mara kwa mara kwamba unataka kuweka baada ya muungano.

ufumbuzi wa yeyote "diffura" - ni kazi ya x na y (katika kesi yetu), au kama kuna ni hali namba, jibu ni idadi. Hebu kuchunguza mfano halisi maendeleo yote ya uamuzi:

y '= 2y * dhambi (x)

Kuhamisha vigezo katika pande tofauti:

dy / y = 2 * dhambi (x) DX

Sasa kuchukua integrals. Wote inaweza kupatikana katika meza maalum ya integrals. Na sisi kupata:

ln (y) = -2 * cos (x) + C

Kama inahitajika, tunaweza kueleza "y" kama kazi ya "X". Sasa tunaweza kusema kwamba tofauti yetu equation ni kutatuliwa, kama sio maalum hali hiyo. Inaweza maalum hali, kwa mfano, y (n / 2) = e. Basi sisi tu mbadala thamani ya vigezo hivi katika uamuzi na kupata thamani ya mara kwa mara. Katika mfano wetu, ni 1.

Jinsi moja ili kwanza equations tofauti

Hata katika sehemu ngumu zaidi. Jinsi moja kwanza milinganyo ili tofauti inaweza kuandikwa katika mfumo wa jumla kama: y '= z (x, y). Ikumbukwe kwamba kazi haki ya vigezo mbili ni sare, na haiwezi kugawanywa katika mbili kulingana na: z x na z ya y. Angalia kama swali ni jinsi moja au la, ni rahisi sana: sisi kufanya badala x = k * x na y = k * y. Sasa tuna kukata kila k. Kama barua hizo imeshuka, basi equation ya jinsi moja na unaweza salama kuendelea na ufumbuzi wake. Kuangalia mbele, sisi kusema: kanuni ya ufumbuzi wa mifano hii pia ni rahisi sana.

Tunahitaji kufanya badala: y = t (x) * x, ambapo t - kazi ambayo pia inategemea x. Basi tunaweza kueleza derivative: y '= t' (x) * x + t. Kugeuza yote katika equation yetu ya awali na kurahisisha hilo, tuna mfano wa mgawanyo wa vigezo t kama x. Kutatua na kupata utegemezi ya t (x). Tulipofika yake, tu badala badala yetu uliopita y = t (x) * x. Basi sisi kupata utegemezi wa y kwenye x.

Ili iwe wazi, tutakuwa kuelewa mfano: x * y '= YX * e y / x.

Wakati kuangalia badala ya kila kupungua. Hivyo, swali ni kweli ya jinsi moja. Sasa kufanya badala ya mwingine, kuongelea: y = t (x) * x na y '= t' (x) * x + t (x). Baada ya kurahisisha equation zifuatazo: t '(x) * x = -e t. Sisi kuamua kupata sampuli na vigezo kutengwa na sisi ^{kupata: e -t = ln (C *} x). Tunahitaji kuchukua nafasi ya t na y / x (kwa sababu kama y = t * x, basi t = y / x), na sisi kupata ^{jibu: e y / x = ln (} x * C).

Linear tofauti equation ya amri ya kwanza

Ni wakati wa kufikiria mada nyingine pana. Tutaangalia tofauti nyingi kwanza ili tofauti equations. Je, wao tofauti na awali mbili? Hebu uso yake. Linear kwanza ili tofauti equations kwa njia ya jumla ya equation inaweza kuandikwa kuwa: y '+ g (x) * y = z (x). Ni lazima kuwa wazi kuwa z (x) na g (x) inaweza kuwa maadili mara kwa mara.

Hapa ni mfano: y '- y * x = x ^2.

Kuna njia mbili za kutatua, na sisi ili Hebu kuchunguza wote wawili. kwanza - njia ya tofauti ya constants kiholela.

Ili kutatua equation kwa njia hii, ni muhimu hulinganisha kwanza kulia upande na sifuri, na kutatua kusababisha equation ambayo baada ya uhamisho wa sehemu inakuwa:

y '= y * x;

dy / DX = y * x;

dy / y = Xdx;

ln | y | = x ^2/2 + C,

y = e ^{x2 / 2} * ^C y = C ₁ * e ^{x2 / 2.}

Sasa ni muhimu kuchukua nafasi ya mara kwa mara C ₁ kwenye kazi v (x), ambayo sisi kupata.

y = v * e ^{x2 / 2.}

Chora badala derivative:

^{y '= v' * e x2} / ² -x * v * e ^{x2 / 2.}

Na kuweka badala ya maneno haya katika equation ya awali:

v '* e ^{x2 / 2} - x * v * e ^{x2 / 2} + x * v * e ^{x2 / 2} = x ^2.

Unaweza kuona kwamba katika upande wa kushoto wa vipindi viwili ni kupunguzwa. Kama baadhi ya mfano kwamba hakuwa na kutokea, basi umefanya kasoro fulani. Tunaendelea:

v '* e ^{x2 / 2} = x ^2.

Sasa tuna kutatua equation kawaida katika ambayo unataka kutenganisha vigezo:

dv / DX = x ^{2 /} e ^x2 / ^2;

dv = x ² * e ^{- x2 / 2} DX.

Kuondoa muhimu, tuna kuomba ushirikiano na sehemu hapa. Hata hivyo, hii si mada ya makala hii. Kama ungependa, unaweza kujifunza peke yao kufanya vitendo vile. Si vigumu, na kwa ustadi wa kutosha na huduma si mara ya kuteketeza.

Akizungumzia Njia ya pili ufumbuzi wa equations inhomogeneous: Bernoulli mbinu. Ni njia gani kwa kasi na rahisi - ni juu yako.

Kwa hiyo, wakati kutatua njia hii, tunahitaji kufanya badala: y = k * n. Hapa, k na n - baadhi ya kazi kulingana na x. Kisha derivative kuangalia kama: y '= k' * n + k * n '. Mbadala mabadilisho mbili katika equation:

k '* n + k * n ' + x * k * n = x ^2.

Group juu:

k '* n + k * ( n' + x * n) = x ^2.

Sasa ni muhimu equate na sifuri, yaani katika mabano. Sasa, ikiwa kuchanganya mbili na kusababisha milinganyo, sisi kupata mfumo wa amri ya kwanza equations tofauti ya kutatuliwa:

n '+ x * n = 0;

k '* n = x ^2.

usawa kwanza kuamua jinsi equation kawaida. Ili kufanya hivyo, unahitaji tofauti vigezo:

dn / DX = x * v;

dn / n = Xdx.

Tunachukua muhimu na sisi kupata: ln (n) = x ^2/2. Kisha, kama sisi kueleza n:

n = e ^{x2 / 2.}

Sasa badala equation kusababisha katika equation ya pili:

k '* e ^{x2 / 2} = x ^2.

Na kubadilisha, sisi kupata equation sawa kama katika njia ya kwanza:

dk = x ^{2 /} e ^x2 / ^2.

Pia si kujadili hatua zaidi. Inasemekana kuwa hapo awali kwanza ili equations tofauti ufumbuzi husababisha matatizo makubwa. Hata hivyo, zaidi kuzamishwa katika mada ni mapya ya kupata bora na bora.

Wapi tofauti equations?

Kazi sana tofauti equations kutumika katika fizikia, kama karibu sheria zote za msingi yaliyoandikwa katika fomu tofauti, na formula hizo, kwamba tunaona - ufumbuzi wa equations haya. Katika kemia, hutumika kwa sababu hiyo hiyo: sheria ya msingi zinatokana kupitia kwao. Katika biolojia, tofauti equations ni kutumika kulinganisha tabia za mifumo, kama vile simba - windo. Wao pia inaweza kutumika kujenga mifano ya uzazi, kwa mfano, makoloni ya microorganisms.

Kama tofauti equations kusaidia katika maisha?

jibu la swali hili ni rahisi: kitu. Kama wewe si mwanasayansi au mhandisi, hakuna uwezekano kwamba wao kuwa na manufaa. Hata hivyo, si kuumiza kujua nini tofauti equation na ni kutatuliwa kwa ajili ya maendeleo kwa ujumla. Na kisha suala la mwana au binti, "the tofauti equation?" wala kuweka wewe katika mwisho maiti. Naam, kama wewe ni mwanasayansi au mhandisi, basi unajua umuhimu wa mada hii katika sayansi yoyote. Lakini muhimu zaidi, kwamba sasa swali "jinsi ya kutatua tofauti equation ya amri ya kwanza?" utakuwa daima kuwa na uwezo wa kutoa jibu. Kukubaliana, siku zote ni nzuri wakati wewe kutambua kuwa kile watu ni hofu kujua.

matatizo kuu katika utafiti

tatizo kubwa katika uelewa wa mada hii ni tabia mbaya ya ushirikiano na utofautishaji kazi. Kama una wasiwasi kudhani derivat na integrals, ni pengine yenye thamani ya zaidi ya kujifunza, kujifunza mbinu mbalimbali za ushirikiano na utofautishaji, na kisha tu kuendelea na masomo ya nyenzo ambayo imekuwa ilivyoelezwa katika makala.

Watu fulani wanashangaa kujua kwamba DX zinaweza kuhamishiwa, kama awali (katika shule) alisema kuwa sehemu dy / DX ni hazigawanyiki. Basi haja ya kusoma maandiko juu ya derivative na kuelewa kuwa ni mtazamo wa kiasi kubwa ndogo, ambayo inaweza kutawaliwa kiufundi katika kutatua equations.

Watu wengi hawana mara moja kutambua kwamba ufumbuzi wa equations tofauti ya utaratibu wa kwanza - hii ni mara nyingi kazi au neberuschiysya muhimu, na udanganyifu huu kuwapa mengi ya matatizo.

Nini kingine zinaweza kuchunguzwa ili kuelewa?

Ni bora kuanza kuzamishwa zaidi katika ulimwengu wa tofauti calculus ya vitabu maalumu, kwa mfano, katika uchambuzi wa hisabati kwa wanafunzi wa Specialties isiyo ya kihisabati. Basi unaweza kuingia katika fasihi maalumu zaidi.

Inasemekana kuwa, pamoja na tofauti, bado kuna muhimu milinganyo, hivyo kila wakati utakuwa na kitu cha kujitahidi kwa na nini cha kujifunza.

hitimisho

Ni matumaini yetu kwamba baada ya kusoma makala hii utakuwa na wazo la nini tofauti equations na jinsi ya kutatua yao ipasavyo.

Katika hali yoyote, hisabati kwa njia yoyote muhimu kwetu katika maisha. Ni yanaendelea mantiki na makini, bila ambayo kila mtu, kama bila mikono.