Maendeleo ya kijiometri. MFANO kufikia uamuzi

Fikiria mfululizo.

7 28 112 448 1792 ...

Inaonyesha wazi kabisa kwamba thamani ya yoyote ya mambo yake zaidi kuliko ya awali hasa mara nne. Hivyo, mfululizo huu ni mwendelezo.

maendeleo ya kijiometri kuitwa usio mlolongo wa namba, kipengele kuu ambayo ni kuwa idadi ifuatayo kupatikana kutoka juu na kuzidisha kwa baadhi ya idadi dhahiri. Hii ni walionyesha kwa formula zifuatazo.

_{z +1 = z · q} , ambapo z - Idadi ya kipengele kuchaguliwa.

Kwa hiyo, z ∈ N.

wakati ambapo shule alisoma geometric maendeleo - 9 daraja. Mifano itasaidia kuelewa dhana:

0.25 0.125 0.0625 ...

18 February 6 ...

Kulingana na formula hii, kuendelea kwa denominator inaweza kupatikana kama ifuatavyo:

Wala q, au b _z hawezi kuwa sifuri. Pia, kila moja ya mambo ya mfululizo wa namba maendeleo haipaswi kuwa sifuri.

Kwa hiyo, kwa kuona idadi ya idadi, kuzidisha mwisho na q.

Kufafanua maendeleo hii, lazima bayana kipengele kwanza ya hilo na denominator. Baada ya kuwa kuna uwezekano wa kupata yoyote ya wanachama zifuatazo na kiasi yao.

aina

Kulingana na q na _1, maendeleo hii ni kugawanywa katika aina kadhaa:

• Kama _1, na q ni zaidi ya moja, kisha mlolongo - kuongezeka pamoja na kila kipengele mfululizo wa maendeleo ya kijiometri. Mifano yake ni kina chini.

Mfano: ₁ = 3, q = 2 - zaidi ya umoja, vigezo vyote viwili.

Kisha mlolongo wa namba inaweza kuandikwa kama:

3 6 12 24 48 ...

• Kama | q | chini ya moja, yaani, ni sawa na kuzidisha kwa mgawanyiko, maendeleo na hali kama hiyo - kupunguza maendeleo ya kijiometri. Mifano yake ni kina chini.

Mfano: ₁ = 6, q = 1/3 - ₁ ni zaidi ya mmoja, q - chini.

Kisha mlolongo wa namba inaweza kuandikwa kama ifuatavyo:

Juni 2 2/3 ... - Mambo ya kipengele yoyote zaidi kufuatia hayo, ni mara 3.

• Kubadilisha. Kama q <0, ishara ya idadi ya mlolongo alternating daima bila kujali _1, na vipengele vya ongezeko lolote au upungufu.

Mfano: ₁ = -3, q = -2 - wote ni chini ya sifuri.

Kisha mlolongo wa namba inaweza kuandikwa kama:

3, 6, -12, 24, ...

formula

Kwa ajili ya matumizi rahisi, kuna progressions geometric ya fomula:

• Mfumo z-th mrefu. Ni inaruhusu mahesabu ya kipengele katika idadi maalum bila kuhesabu idadi ya awali.

Mfano: q = 3, a = ₁ 4. wanatakiwa mahesabu ya nne kipengele maendeleo.

Solution: a = ₄ 4 3 · ^4-1 · 3 = 4 ³ = 4 · 27 = 108.

• Jumla ya mambo ya kwanza, ambao idadi yao ni sawa na z. Ni inaruhusu mahesabu ya jumla ya mambo yote katika mlolongo wa _z jumuishi.

≠ 0, hivyo, q si 1 - (q 1) Kwa kuwa (1- q) ni katika denominator, basi.

Kumbuka: kama q = 1, kisha maendeleo ingekuwa kuwakilishwa idadi ya ukomo kurudia namba.

Kiasi kipeo mifano: ₁ = 2, q = -2. Piga hesabu S _5.

Solution: S ₅ = 22 - hesabu formula.

• Kiasi kama | q | <1 na wakati z huelekea isiyo na kikomo.

Mfano: ₁ = _2, q = 0.5. Kupata sum.

Solution: S _z = 2 x = 4

Kama sisi mahesabu ya jumla ya wanachama kadhaa wa mwongozo, utaona kwamba ni kweli nia ya nne.

S _z = 1 + 2 + 0.5 + 0.25 + 0125 + 0.0625 = 3.9375 4

Baadhi ya mali:

• mali ya tabia. Ikiwa hali zifuatazo Ana kwa z yoyote, basi kutolewa mfululizo namba - maendeleo ya kijiometri:

_z ² = _{Z -1} · _{Z + 1}

• Pia ni mraba wa idadi yoyote ni exponentially kwa njia ya kuongeza ya mraba ya idadi nyingine mbili mfululizo yoyote, ikiwa ni equidistant kutoka kipengele.

² _z = _{z - t} ² _{+ z} + _t ² ambapo t - umbali kati ya namba hizi.

• mambo tofauti kwa mara q.
• logarithms wa mambo ya maendeleo na pia kuunda maendeleo, lakini hesabu, yaani, kila mmoja wao zaidi ya moja uliopita kwa idadi fulani.

Mifano ya baadhi ya matatizo classical

Ili kuelewa vizuri kile maendeleo ya kijiometri, pamoja na mifano uamuzi ajili ya daraja 9 inaweza kusaidia.

• Sheria na masharti: ₁ = 3, ₃ = 48. Kupata q.

Solution: kila kipengele mfululizo kwa zaidi ya q uliopita wakati. Ni muhimu kueleza baadhi ya vipengele kwa wengine kupitia denominator.

Kwa hiyo, ₃ = q ² · ₁

Wakati kugeuza q = 4

• Masharti: ₂ = 6, a = ₃ 12. Kokotoa S _6.

Solution: Ili kufanya hivyo, Inatosha kujua q, kitu cha kwanza na badala katika formula.

₃ = q · _2, kwa sababu hiyo, q = 2

a ₂ = q · _1, hivyo a = ₁ 3

S = ₆ 189

• · A ₁ = 10, q = -2. Kupata kipengele nne ya maendeleo.

Solution: ni wa kutosha kueleza kipengele cha nne kwa njia ya kwanza na kwa njia ya denominator.

₄ ³ = q · a = ₁ -80

Maombi mfano:

• Bank mteja imechangia kiasi cha rubles 10,000, ambapo kila mwaka mteja kiasi kuu itaongezwa 6% ya hiyo ingawa. Kiasi gani cha fedha katika akaunti ya baada ya miaka 4?

Solution: awali kiasi sawa na rubles 10 elfu. Kwa hiyo, mwaka baada ya uwekezaji katika akaunti itakuwa kiasi sawa na 10,000 + 10,000 = 10,000 · 0.06 · 1.06

Kwa hiyo, kiasi katika akaunti hata baada ya mwaka mmoja itakuwa walionyesha kama ifuatavyo:

(10000 · 1.06) · 10000 · 0,06 + 1,06 = 1,06 · 1.06 · 10000

Hiyo ni, kila mwaka kiasi kuongezeka kwa mara 1.06. Kwa hiyo, ili kupata idadi ya akaunti baada ya miaka 4, Inatosha kujua nne kipengele maendeleo, ambayo ni kutokana na kipengele kwanza sawa na 10 elfu, na denominator sawa na 1.06.

S = 1.06 · 1.06 · 1.06 · 1.06 · 10000 = 12625

Mifano ya matatizo katika hesabu ya jumla ya:

Katika matatizo mbalimbali kwa kutumia maendeleo ya kijiometri. Mfano wa kutafuta kiasi kinaweza kuwekwa kama ifuatavyo:

₁ = 4, q = 2, mahesabu S _5.

Solution: data zote muhimu kwa ajili ya hesabu zinajulikana, tu badala yao katika formula.

S ₅ = 124

• ₂ = 6, a = ₃ 18. Kokotoa Jumla ya kwanza mambo sita.

ufumbuzi:

Geom. maendeleo ya kila kipengele cha kubwa ya kuliko ya awali mara q, ambayo ni, kwa mahesabu ya kiasi unahitaji kujua kipengele ₁ na denominator q.

a ₂ · q = ₃

q = 3

Vile vile, haja ya kupata _{1, 2} na kujua q.

a ₁ · q = ₂

₁ = 2

Na kisha yatosha mbadala data inayojulikana katika kiasi formula.

S ₆ = 728.