Maclaurin na mtengano wa baadhi ya majukumu

Kusoma hisabati ya juu wanapaswa kufahamu kwamba jumla ya mfululizo nguvu katika kipindi cha muunganiko wa idadi ya sisi, ni kuendelea na ukomo idadi ya mara kazi tofauti. swali linalopaswa ni, inawezekana wanasema kuwa kutokana na holela kazi f (x) - ni jumla ya mfululizo wa kipeo? Hiyo ni, chini ya kile hali f-ma f (x) inaweza kuwakilishwa na mlolongo nguvu? umuhimu wa suala hili ni kwamba kuna uwezekano wa kuchukua nafasi ya takriban £ Theological f (x) ni jumla ya maneno machache kwanza wa mfululizo nguvu, ambayo ni polynomial. Kama badala kazi ni rahisi sana kujieleza - polynomial - ni rahisi na katika kutatua matatizo fulani katika uchambuzi hisabati, yaani katika kutatua integrals wakati wa kuhesabu tofauti equations , nk ...

Ni imeonekana kwamba kwa baadhi ya f-ii f (x), ambapo derivat ya (n + 1) th ili inaweza kuwa mahesabu, ikiwa ni pamoja na karibuni katika maeneo ya jirani ya (α - R, x ₀ + R) ya uhakika x = α haki formula ni:

formula hii ni jina lake baada ya mwanasayansi maarufu Brooke Taylor. idadi ya ambayo imechukuliwa kutoka kwa mmoja uliopita, inaitwa Maclaurin mfululizo:

utawala inayowezesha kuzalisha upanuzi katika mfululizo Maclaurin:

1. Kuamua derivat ya kwanza, ya pili, ya tatu, ... utaratibu.
2. Piga hesabu gani derivat katika x = 0.
3. Rekodi Maclaurin mfululizo wa kazi hii, na kisha kuamua muda wa maelewano.
4. Kuamua muda (-R, R), ambapo sehemu mabaki ya formula Maclaurin

R _n (x) -> 0 kwa n -> isiyo na kikomo. Ikiwa ipo, ni kazi f (x) lazima kuwa sawa na jumla ya mfululizo Maclaurin.

Fikiria sasa mfululizo Maclaurin kwa ajili ya kazi ya mtu binafsi.

1. Kwa hiyo, kwanza f (x) = e ^x. Bila shaka, kwamba tabia zao ili f-Ia ina inayotokana aina ya amri, na f ^{(k) (x)} = e ^x, ambapo k ni sawa na kila namba ya asili. Mbadala x = 0. Sisi kupata f ^{(k) (0)} = e ⁰ = 1, k = 1,2 ... Kulingana na hayo, idadi ya e ^x Itakuwa kama ifuatavyo:

2. Maclaurin mfululizo kwa kazi f (x) = dhambi x. Mara kubainisha kuwa f-ma kwa derivat kila haijulikani itakuwa na, badala f ^'(x) = cos x = dhambi (x + n / 2), ^{f' '(x)} = -sin x = dhambi (x + 2 * n / ²⁾ ..., f ^{(k) (x)} = dhambi (x + n * k / 2), ambapo k ni sawa na integer yoyote mazuri. Hiyo ni, kufanya mahesabu rahisi, tunaweza kuhitimisha kwamba mfululizo kwa f (x) = dhambi x itakuwa kama hii:

3. Sasa hebu fikiria Iju f-f (x) = cos x. Haijulikani ni kwa derivat zote za utaratibu kiholela, na ^{| f (k) (x)} | = | Cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2 ... Tena, ni baada ya kufanya baadhi ya mahesabu, tunaona kwamba mfululizo kwa f (x) = cos x kuangalia kama hii:

Kwa hiyo, sisi hapa vipengele muhimu ambayo inaweza kupanuliwa katika mfululizo Maclaurin, lakini kutimiza Taylor mfululizo kwa baadhi ya kazi. Sasa sisi orodha yao pia. Ni lazima pia alibainisha kuwa Taylor mfululizo na Maclaurin mfululizo ni sehemu muhimu ya warsha mfululizo wa maamuzi katika hisabati ya juu. Kwa hiyo, Taylor mfululizo.

1. kwanza ni mfululizo wa f-ii f (x) = ln (1 + x). Kama ilivyokuwa katika mifano ya awali, kwa ajili ya hii sisi f (x) = ln (1 + x) inaweza folded simu, kwa kutumia hali ya kijumla ya Maclaurin mfululizo. lakini kwa ajili ya kipengele hiki Maclaurin yanaweza kupatikana rahisi zaidi. Kuunganisha mfululizo kijiometri, sisi kupata idadi ya f (x) = ln (1 + x) ya sampuli:

2. Na pili, ambayo itakuwa ya mwisho katika makala hii, itakuwa ni mfululizo kwa f (x) = arctg x. Kwa x mali ya muda [-1; 1] ni halali kuoza:

Hayo ni yote. Katika makala hii mimi utafiti zaidi kutumika Taylor mfululizo na Maclaurin mfululizo katika hisabati ya juu, hasa katika vyuo kiuchumi na kiufundi.